全 1 二进制

二进制里的纯色天花板，梅森的老家。

二进制下每一位都是 1 的数，即 2ᵏ−1（梅森数）：1、3、7、15、31……如 1023 = 1111111111₂。

精确命中

1 in 52,632

概率

0.0019%

占比

314 EP

基础 EP

全站 0 到 1,000,000 里只有 19 个全 1 二进制数：2¹−1 到 2¹⁹−1。第 20 个 2²⁰−1 = 1,048,575 恰好被区间关在门外——稀有不靠运气，靠区间边界。

每个全 1 二进制数同时也是二进制回文（一串 1 怎么读都一样），但反过来远不成立：2,000 个二进制回文里只有这 19 个纯色的。它是回文家族里最极端的一支。

这就是著名的梅森数 M(k) = 2ᵏ−1。区间内 19 个里有 7 个是质数（3、7、31、127、8191、131071、524287，对应 k = 2、3、5、7、13、17、19）——已知最大的质数几乎都是这个形态，人类找大质数找了两千多年，一直在这条街上找。

524,287 区间内最大的全 1 二进制数：19 个 1，而且是梅森质数。

1,023 10 个 1。程序员的老朋友：1 KiB 减 1。